但租赁公司要求我支付额外的折旧费和停运费，

您应要求对方支付折旧费和停运费。依据《民法典》相关条款，事故损失应由责任方承担，包括租车额外费用。不及时处理可能导致您承担本不应由您支付的费用，造成经济损失。
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您可选择调解或诉讼处理。建议先尝试通过公安机关交通管理部门调解，快速高效；若调解不成，再向人民法院提起民事诉讼，以法律手段维护权益。
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对方全责应赔偿。操作如下：1.收集证据，如事故认定书、租车合同等；2.与对方及租赁公司协商，要求赔偿折旧费和停运费；3.若协商无果，申请交管部门调解；4.调解不成，准备材料向法院起诉，要求法院公正裁决。